LEGENDRE POLİNOMLARI

Bu koşullarda ortogonal olan polinomlar, Legendre polinomları adını alır ve P_n(x) ile gösterilirler. Legendre diferansiyel denklemi, küresel simetriye sahip sınır değer problemlerinin çözümünde karşımıza çıkar. 13. bölümde Schrödinger dalga denkleminin küresel koordinatlarda değişkenlere ayırma yöntemiyle elde edilen ve bağlı Legendre diferansiyel denklemi olarak adlandırılan denklem, λ = n(n + 1) şeklinde bir sabit ve m de bir tamsayı olmak üzere yeniden yazılabilir.

   (10.8)

Bu denklemde x = cos θ dönüşümü yapıldığında

 

(10.9)

 

olur. θ açısı [0, π] aralığında değiştiği için x değişkeni [-1,1] aralığında tanımlıdır.

 

elde edilir Bu denklem, bağlı Legendre diferansiyel denklemi ve çözümleri de bağlı Legendre polinomlarıdır.

m= 0 için (10.10) denklemi Legendre diferansiyel denklemidir.

FİZİKSEL TANIMLAMALAR

• PAULİ DIŞARLAMA İLKESİ

Pauli’nin dışarlama ilkesi periyodik tablonun şekillenmesinde, elementlerin bir düzen içinde listelenmesinde önemli bir yere sahiptir.

Kuantum fiziğindeki en önemli teoremlerden biri, deneysel gözlemlere de dayandırılan Pauli dışarlama ilkesidir. Bu ilke tanımlı n, l, m_l ve m_s kuantum sayılarına sahip bir sistem içinde -örneğin atom- iki elektronun bulunamayacağını söyler. n, l,m_l ve m_s için her bir değer seti olası bir elektronik durumu temsil eder. Bu elektronik durum için elektronun elde ettiği dalga fonksiyonu Ψ n,l,m_l,m_s tarafından ifade edilen bir dalga fonksiyonudur. Örneğin, 2,1,1,½ ile verilen kuantum sayılarına sahip bir elektron Ψ_n,l,m_l,m_s=Ψ₂,1,1, ½ dalga fonksiyonu ile tanımlanır ve bu elektronun 2p, m_l=1 ve spin yukarı ½ durumunda olduğu söylenebilir. Bu elektronun enerjisi E2p olacaktır. Pauli dışarlama ilkesi bu aynı durumda bir başka elektronun bulunamayacağını gerektirir.

BAND TEORİSİ VE FERMİ-DİRAC DAĞILIMI

Kuantum mekaniğine göre bir atom, kesikli enerji düzeylerine sahiptir. İki atom bir araya geldiğinde her bir enerji düzeyi daha yüksek ve daha düşük enerji seviyelerine ayrılarak orbitalleri oluştururlar. (Orbital: Atom çevresinde elektronların bulunma ihtimalinin yoğunlaştığı bölgeler. ) Bir kristaldeki atom sayısı arttıkça etkileşim miktarı da artar ve enerji düzeyleriyle beraber band yapısı da ortaya çıkar. Eğer en yüksek işgal edilmiş durum ile en düşük işgal edilmiş durum arasında büyük bir enerji farkı varsa band aralığı ortaya çıkar.

Yarıiletkenlerde bant yapısının oluşumunu silikon atomlarının kristali oluşturmak için bir araya getirerek açıklanabilir.

Si: 1s²2s²2p⁶3s²3p²

Kuantum Mekaniğinin Postülaları

 

Kuantum dalga fonksiyonlarının ilk öne sürülüşünden bu yana 60 yıl geçtiğini ve gelecekte de evrenimize dair anlayışımızı geliştirmede dalga fonksiyonundan yararlanmayı sürdüreceğimizi “Kuantum Dalga Fonksiyonu ve Fiziksel Yorumu” isimli yazımda belirtmiştim. Kuantum dalga fonksiyonu kuantum mekaniğin varsayımlarından (postülaları) biridir. Bu postüla dışında kuantum mekaniğinde ihtiyaç duyduğumuz başka postülalar da vardır. Bu postülaları özetle şöyle sıralayabiliriz:

1. Korunumlu bir alanın kuvveti ile hareket eden herhangi bir parçacık sistem hakkında bildiğimiz her şeyi belirleyen bir dalga fonksiyonu ile ilişkilidir.
2. q fiziksel ölçülebilir bir özellikle birleştirilen herhangi bir Q işlemcisi Hermityen olacaktır.
3. q gibi her bir gözlenebilir ile bir Q işlemcisi bağlantılıdır. Q işlemcisinin özfonksiyonlar kümesi lineer bağımsız fonksiyonlar kümesinden oluşacaktır.
4. Bir dalga fonksiyonu ile belirlenen bir sistem için, herhangi bir q özelliğinin beklenen değeri dalga fonksiyonuna göre beklenen değerin integrali alınarak bulunabilir.
5. Dalga fonksiyonun zamanla değişimi zamana bağımlı Schrödinger denklemi ile verilir.
6. Toplam dalga fonksiyonu bir fermiyonun bir diğeriyle tüm koordinatlarını değiş tokuş etmesine göre antisimetrik olmalıdır.