Matematikte Tanımsızlık ve Belirsizlik (Undefined / Indeterminate)

Posted: Haziran 2, 2013 in Eğitim, GENEL

Matematikte önemli olan ve genelde karıştırılan iki ifade vardır. Tanımsız ve Belirsiz. Hatta ikisine de aynı diyenler bile çıkabiliyor. Bu karışıklık daha çok a≠0 için a/0 ifadesi de 0/0 ifadesi de tanımsız olarak algılanmaktan ortaya çıkıyor. Doğrusu sıfırdan farklı a değerleri için a/0=Tanımsız ve 0/0=Belirsiz olmalıdır. Aslında çok farklıdırlar ve anlaşılması çok kolaydır.
Limit hesaplamalarında karşılaşılan belirsiz ifadelerini açıklamaya çalışalım.
Bu ifadeler 0/0,  ∞ / ∞,  ∞ – ∞, 0. ∞, 00,  ∞0 ve 1  dir.

a/0 Tanımsızlığı (Sayı Bölü Sıfır Tanımsızlığı)

Sıfırdan farklı a için a/0=x diyelim. Buradan a=0.x olacaktır. Bu eşitlikte x değerini adlandırmaya çalışalım. “0 ile çarpıldığında sıfırdan farklı a değerini verecek sayı”. Böyle bir sayı tanımlanmadığı için x tanımsız olacaktır. Dolayısıyla x dediğimiz a/0 da tanımsız olur.

0/0 Belirsizliği

Gelelim 0/0 ifadesine. Yine aynı şekilde 0/0=x diyelim. Buradan 0=0.x elde edilir. Bu ise 0=0 olmasını gerektirir. Yani eşitlik bütün x değerleri için sağlanır. x tanımlıdır, sonsuz tanedir ancak belli değildir. Diğer bir ifadeyle 0 ile çarpıldığında 0 sayısını verecek sayı vardır ama belli değildir. Bu yüzden x belirsiz dolayısıyla 0/0 belirsiz olmalıdır.

∞ / ∞ Belirsizliği
∞ / ∞ =x diyelim. ∞ =∞.x olur. Burada ∞ ile çarpıldığında ∞’u verecek sayı bütün sayılardır ve belli değildir. Dolayısıyla ifade belirsiz olur.
∞ – ∞ Belirsizliği
∞ – ∞ =x dersek ∞ = ∞ +x. Buradan ise yine x’in belirsizliği açık. Daha açık iade edersek ∞ ları eşit düşünürsek ifade 0 olur. ∞ ları farklı düşünürsek duruma göre negatif veya pozitif olur. Yani belirsizdir.
0.∞ Belirsizliği
Bu ifadede 0 sayısını baz alırsak yutan eleman olduğundan ifade 0 olur. ∞ sayısını baz alırsak ∞’un bir sayıyla çarpımı yine sonsuzdur. Dolayısıyla belirsizdir.
00 Belirsizliği
00=x diyelim. Her iki taraftan ln alırsak ln00 = lnx olur. ln özelliğinden 0.ln0=lnx olur. Burada yine 0’ı baz alırsak x=1 olur. ln0’ı baz alırsak ln0 tanımsız olduğundan lnx tanımsız, x ise belirsiz olur.
0  Belirsizliği
0 = x diyelim. Yine ln alırsak ln ∞0 = lnx ve de 0.ln∞=lnx olur. Burada da duruma göre lnx=0 veya lnx=∞ olur. buradan x=1 veya x belirsiz olur.


1  Belirsizliği
1 =x diyelim. Buradan ln1 = lnx ve ∞.ln1= lnx. Buradan da ∞.0=lnx olur (ln1=0). ∞.0 ifadesi belirsiz olduğundan x de belirsiz olacaktır.

a/Belirsizliği (Bir sayının sonsuza bölümü)

Herhangi bir sayıyı sonsuza bölmeden önce 1’i başka sayılara bölünürse aşağıda görüldüğü gibi bölen sayı büyüdükçe sayı küçülür, yani 0’a yaklaşır. Eğer bölen sonsuz olursa sonuç 0 olur. Sadece 1’i değil, bütün sayıları aslında bir sayı olmayan sonsuza bölünürse sonuç 0 olur. Yani ∞x0 hem 1’e, hem 2’ye, hem … bütün sayılara eşit olabilir. Birden fazla sonucu olan işlemse belirsizdir.

Sonuç olarak Tanımsız ve Belirsiz sözel olarak da Matematiksel olarak da birbirinden farklı ifadelerdir. Matematik biliminde, ifadeler ispatları etkileyeceğinden, noktanın bile önemli olduğu şu durumda, umarım Tanımsız ve Belirsiz arasındaki büyük farkı anlatabilmişimdir.

Tanımsızlar

Belirsizler

(Reel Sayılar Kümesinde) a>0 için image002

00

a>0 için    ln(-a)

0/0

tan(π/2)

1

a>0 için    a/0

 ∞ − ∞

ln(0)

∞/∞

loga(0)

0 × ∞

0

a/∞ (a bir reel sayı)

Not: Ancak limit alırken  image004  olur bu durum limit alırken geçerlidir. Benzer bir şekilde image006   limit alırken geçerli bir ifadedir.

 

Kaynaklar:

http://www.matematiktutkusu.com/lise-matematik/216-tanmsizlik-belirsizlik-nedir.html

http://tr.wikipedia.org/wiki/Belirsiz

http://math.wikia.com/wiki/Undefined

Yorumlar
  1. Baku diyor ki:

    Eyvallah…

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Twitter picture

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Facebook photo

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Google+ photo

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Connecting to %s